姪浜教室

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姪浜教室からのメッセージ

【解説】 福岡県公立高校入試 H31年度 数学 空間図形

2019.03.20

福岡県過去問 ブログ.pngこんにちは!講師の黒河です。

福岡県では3月7日に、公立高校の入学試験が行われましたね。
受験生の皆さん、お疲れさまでしたemoji

そこで今回は、公立高校入試の解説をしたいと思います!
今回解説をするのは、数学の一番最後の問題です。


問:底面の半径が6㎝、高さが4㎝の円錐と、底面の半径が6㎝、高さが5㎝の円柱を合わせた立体。∠DBE=120°、∠BEF=90°。
ADの中点をMとし、MFの長さを求めよ。
福岡県過去問 ブログ.pngこの画像の問題の解説です!(大問6の(3)です)


まず、この問題はMFの長さを求める問題ですよね。
MFの長さを求めるのは、どう求めたらよいでしょうか?

空間図形を解くときに、姪浜教室の講師がいつも受験生の生徒さんに話していることは、
三平方の定理相似を使うことと、空間図形を平面図形に直して考えるということです。

この問題では、MFに関わる相似は見つけにくそうなので、三平方の定理を使って求めていきましょう。
求め方の方針が決まったら、平面図形に直して考えましょう
三平方の定理を使うので、直角三角形を書くといいですね。この場合、MFを1つの辺とした直角三角形を考えます。
下の図のようになりますね。
福岡過去問6.png
求めるのはMFなので、三平方の定理を用いるためには、MHの長さとHFの長さが必要になります。

MはADの中点であり、ACとMHは平行であるため、中点連結定理より、MN=1/2×AB=2となります。
NH=5なので、MH=7です。

HFの長さを求めるときも、平面図形に直して考えます。
上から見た図を描いて、そこで三平方の定理を用いて考えましょう。
福岡過去問7.png∠DBE=120°より、∠EAJ=60°です。∠AJE=90°として点Jを取ると、三角形AJEは30°60°90°の直角三角形になります。
よって、AE=6と三平方の定理より、AJ=3、EJ=3√3となります。
三角形MEJで三平方の定理を使うと、ME(HF)=3√7とでます。

以上より、三平方の定理を用いて、MF=4√7となります!


この問題は、三平方の定理を使えば答えにたどり着くことができます。
相似を用いて考える問題もあるので、その都度考えなければなりません!
どういう場合に三平方の定理を用いるのか、相似を用いるのかを知りたい方は、ぜひ城南コベッツ姪浜教室に来て下さい!
スタッフ一同、お待ちしております!