2025.02.28
【休館日】
・３/１０（月）～３/１２（火）は休館日
・日曜日・・・２日、９日、１６日、２３日、３０日
→ 教室への入室はできません
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2025.02.28
2⃣ 中点連結定理
■ 中点連結定理
△ABCの２辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとすると次の関係が成り立つ。
MN ∥ BC
MN＝１/２BC
（証明）
AM＝MB、AN＝NCより
AM：AB ＝ AN：AC ＝ １：２
よって、 MN ∥ BC
また、 MN：BC ＝ AM：AB ＝ １：２
したがって、 MN＝１/２BC
■ 中点連結定理
△ABCの２辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとすると次の関係が成り立つ。
MN ∥ BC
MN＝１/２BC
（証明）
AM＝MB、AN＝NCより
AM：AB ＝ AN：AC ＝ １：２
よって、 MN ∥ BC
また、 MN：BC ＝ AM：AB ＝ １：２
したがって、 MN＝１/２BC
2025.02.27
1⃣ 線分の比と平行線
■ 線分の比と平行線
△ABCで辺AB、AC上にそれぞれ点P、Qがあるとき、
① AP：AB ＝ AQ：ACならば
PQ∥BC
② AP：PB ＝ AQ：QCならば
PQ∥BC
（証明）
① △APQと△ABCで ② Cを通りBAに平行な直線
AP：AB ＝ AQ：AC を引き、直線PQとの交
∠Aは共通 点をRとする。
２組の辺の比とその間の角が AB∥RCより
それぞれ等しいので、 △APQ ∽ △CRQとなるので、
△APQ ∽ △ABC AP：CR＝AQ：CQ・・・(i)
よって、∠APQ ＝ ∠ABC 仮定より
同位角が等しいから AP：PB＝AQ：CQ・・・(ii)
PQ∥BC (i)、(ii)よりAP：PB＝AP：CR
よって、PB ＝ CR
また、PB∥CRである四角形PBCRは平行四辺形なので、
PQ∥BC
2025.02.26
3⃣ 角の二等分線と線分の比
■ 角の二等分線と線分の比
△ABCの∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、
AB：AC ＝ BD：DC
（証明）
右の図のように、点Cを通り、ADに平行な直線をひき、
BAの延長との点をEとする。
AD∥ECより、△BCEでBA：AE ＝ BD：DC・・・①
平行線の同位角・錯角は等しいのでAD∥ECより
∠AEC ＝ ∠BAD
∠ACE ＝ ∠CAD
仮定より、∠BAD ＝ ∠CADだから
∠AEC ＝ ∠ACE
よって、△ACE_は二等辺三角形であり、
AE ＝ AC・・・②
①、②より AB：AC ＝ BD：DC
■ 角の二等分線と線分の比
△ABCの∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、
AB：AC ＝ BD：DC
（証明）
右の図のように、点Cを通り、ADに平行な直線をひき、
BAの延長との点をEとする。
AD∥ECより、△BCEでBA：AE ＝ BD：DC・・・①
平行線の同位角・錯角は等しいのでAD∥ECより
∠AEC ＝ ∠BAD
∠ACE ＝ ∠CAD
仮定より、∠BAD ＝ ∠CADだから
∠AEC ＝ ∠ACE
よって、△ACE_は二等辺三角形であり、
AE ＝ AC・・・②
①、②より AB：AC ＝ BD：DC
2025.02.25
2⃣ 平行線にはさまれた線分の比
■ 平行線にはさまれた線分の比
右の図で直線ｐ、ｑ、ｒが平行のとき、次の①、②が成り立つ。
① a : b = a' : b'
② a : a' = b : b'
（証明）
右の図のように点Ａを通りA'C'に平行な直線をひき、
ｑ、ｒとの交点をそれぞれＤ、Ｅとする。
△ACEにおいて、BD∥CEであるから、
AB：BC ＝ AD：DE ・・・①
また、四角形ADB'A'と四角形DEC'B'はどちらも
平行四辺形であるから、
AD ＝ A'B'，DE ＝ B'C' ・・・②
①、②より AB：BC ＝ A'B'：B'C'
■ 平行線にはさまれた線分の比
右の図で直線ｐ、ｑ、ｒが平行のとき、次の①、②が成り立つ。
① a : b = a' : b'
② a : a' = b : b'
（証明）
右の図のように点Ａを通りA'C'に平行な直線をひき、
ｑ、ｒとの交点をそれぞれＤ、Ｅとする。
△ACEにおいて、BD∥CEであるから、
AB：BC ＝ AD：DE ・・・①
また、四角形ADB'A'と四角形DEC'B'はどちらも
平行四辺形であるから、
AD ＝ A'B'，DE ＝ B'C' ・・・②
①、②より AB：BC ＝ A'B'：B'C'
2025.02.24
平行線と線分の比（１）
1⃣ 平行線と線分の比
△ABCで辺AB、AC上にそれぞれ点P、Qがあるとき
① PQ∥BCならば
AP：AB ＝ AQ：AC ＝ PQ：BC
② PQ∥BCならば
AP：PB ＝ AQ：QC
（証明） ① △APQと△ABCで
PQ∥BCより同位角は等しいから
∠APQ＝∠ABC
∠AQP＝∠ACB
２組の角がそれぞれ等しいので
△APQ ∽ △ABC
対応する辺の比は等しいから
AP：AB ＝ AQ：AC ＝ PQ：BC
② Qを通りABに平行な直線と辺BCとの交点をRとする。
△APQと△QRCにおいてPQ∥BCより
∠AQP＝∠QCR
QR∥ABより ∠PAQ＝∠RQC
２組の角がそれぞれ等しいので、
△APQ ∽ △QRC
よって、AP：QR ＝ AQ：QC ・・・（i）
また四角形PBRQは平行四辺形だから、
QR＝PB ・・・・・・・・・（ii）
（i），（ii）よりAP：PB ＝ AQ：QC
2025.02.22
4⃣ 相似の証明とその利用
（例題）
∠A＝90°の直角三角形ABCで点Aから辺BCに垂線ADをひく。
（１）△ABC ∽ △DACとなることを証明しなさい。
（２）BC＝25cm、AC＝20cmのとき、DCの長さを求めなさい。
（解き方）
（１）△ABC と △DACで、等しい角に着目する。
（証明）△ABC と △DACにおいて
仮定より ∠BAC＝∠ADC＝90° ・・・①
共通な角だから ∠ACB＝∠DCA ・・②
①、②より２組の角がそれぞれ等しいので、
△ABC ∽ △DAC
（２）対応する辺の比は等しいから BC：AC＝AC：DC
DC＝χ cmとすると、 25：20 ＝ 20：χ
25 × χ ＝ 20 × 20
χ ＝ 16
答 １６cm
（例題）
∠A＝90°の直角三角形ABCで点Aから辺BCに垂線ADをひく。
（１）△ABC ∽ △DACとなることを証明しなさい。
（２）BC＝25cm、AC＝20cmのとき、DCの長さを求めなさい。
（解き方）
（１）△ABC と △DACで、等しい角に着目する。
（証明）△ABC と △DACにおいて
仮定より ∠BAC＝∠ADC＝90° ・・・①
共通な角だから ∠ACB＝∠DCA ・・②
①、②より２組の角がそれぞれ等しいので、
△ABC ∽ △DAC
（２）対応する辺の比は等しいから BC：AC＝AC：DC
DC＝χ cmとすると、 25：20 ＝ 20：χ
25 × χ ＝ 20 × 20
χ ＝ 16
答 １６cm
2025.02.21
3⃣ 三角形の相似条件
■ 三角形の相似条件・・・２つの三角形は、次のどれかが
成り立つとき相似である。
① ３組の辺の比が、すべて等しい。
a : a' = b : b' = c : c'
② ２組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しい。
a : a' = c : c' , ∠B＝∠B'
③ ２組の角が、それぞれ等しい。
∠B＝∠B' , ∠C＝∠C'
■ 三角形の相似条件・・・２つの三角形は、次のどれかが
成り立つとき相似である。
① ３組の辺の比が、すべて等しい。
a : a' = b : b' = c : c'
② ２組の辺の比とその間の角が、それぞれ等しい。
a : a' = c : c' , ∠B＝∠B'
③ ２組の角が、それぞれ等しい。
∠B＝∠B' , ∠C＝∠C'
2025.02.20
2⃣ 相似比
■ 相似比・・・相似な２つの図形で対応する線分の長さの比を相似比という。
（例）
右の図で△ABC ∽ △DEFであり、
相似比は、２：３
（８：１２＝２：３，６：９＝２：３，10：15＝２：３）
※相似比として、比の値を用いることもある。
その場合、△ABCの△DEFに対する相似比は、2/３という。
■ 比の性質
① a : b = c : d ならば、ad = bc
② a : b = c : d ならば、a : c = b : d
（例）
右の図で△ABC ∽ △DEFであるとき、
対応する辺の比は等しいから、
BC : EF = AC : DF
５：χ ＝４：６
χ × ４＝５×６
χ = 7.5
※BC：AC＝EF：DFを使ってもよい。５：４＝ χ : 6
■ 相似比・・・相似な２つの図形で対応する線分の長さの比を相似比という。
（例）
右の図で△ABC ∽ △DEFであり、
相似比は、２：３
（８：１２＝２：３，６：９＝２：３，10：15＝２：３）
※相似比として、比の値を用いることもある。
その場合、△ABCの△DEFに対する相似比は、2/３という。
■ 比の性質
① a : b = c : d ならば、ad = bc
② a : b = c : d ならば、a : c = b : d
（例）
右の図で△ABC ∽ △DEFであるとき、
対応する辺の比は等しいから、
BC : EF = AC : DF
５：χ ＝４：６
χ × ４＝５×６
χ = 7.5
※BC：AC＝EF：DFを使ってもよい。５：４＝ χ : 6
2025.02.19
1⃣ 相似な図形
■ 拡大・縮小・・・ある図形をその形を変えないで、一定の
割合で大きくすることを拡大する、小さ
くすることを縮小するという。
拡大した図形を拡大図、縮小した図形を
縮図という。
■ 相似・・・２つの図形があって、一方の図形を拡大または
縮小したものと、他方の図形が合同であるとき、
この２つの図形は相似であるという。
■ 相似な図形の性質
① 対応する線分の長さの比は、すべて等しい。
② 対応する角の大きさは、それぞれ等しい。
■ 相似の表し方・・・四角形ABCDと四角形EFGHが相似である 四角形ABCD ∽ 四角形EFGH
ことを、記号∽を使って次のように表す。 AB：EF ∠A＝∠E
四角形ABCD ∽ 四角形EFGH ＝BC：FG ∠B＝∠F
＝CD：GH ∠C＝∠G
※対応する頂点を順に並べる。 ＝DA：HE ∠D＝∠H