城南コベッツ東大宮教室

1⃣ 線分の比と平行線

■ 線分の比と平行線

　△ABCで辺AB、AC上にそれぞれ点P、Qがあるとき、

　①　AP：AB ＝ AQ：ACならば

　　　　　　PQ∥BC

　②　AP：PB ＝ AQ：QCならば

　　　　　　PQ∥BC

（証明）

　① △APQと△ABCで　　　　　　　　　② Cを通りBAに平行な直線　　

　　　　AP：AB ＝ AQ：AC　　　　　　　　を引き、直線PQとの交

　　　　∠Aは共通　　　　　　　　　　　　点をRとする。

　　　２組の辺の比とその間の角が　　　　　　AB∥RCより

　　　それぞれ等しいので、　　　　　　　 △APQ ∽ △CRQとなるので、　

　　　　　△APQ ∽ △ABC　　　　　　　　AP：CR＝AQ：CQ・・・(i)

　　　よって、∠APQ ＝ ∠ABC　　　　　　仮定より

　　　同位角が等しいから　　　　　　　　 AP：PB＝AQ：CQ・・・(ii)

　　　　　PQ∥BC　　　　　　　　　　　 (i)、(ii)よりAP：PB＝AP：CR

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって、PB ＝ CR

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　また、PB∥CRである四角形PBCRは平行四辺形なので、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　PQ∥BC　

平行線と線分の比（１）

1⃣ 平行線と線分の比

■ 平行線と線分の比

　△ABCで辺AB、AC上にそれぞれ点P、Qがあるとき

　① PQ∥BCならば

　　　AP：AB ＝ AQ：AC ＝ PQ：BC

　② PQ∥BCならば

　　　AP：PB ＝ AQ：QC

（証明）　① △APQと△ABCで

　　　　　PQ∥BCより同位角は等しいから

　　　　　　　∠APQ＝∠ABC

　　　　　　　∠AQP＝∠ACB

　　　　　２組の角がそれぞれ等しいので

　　　　　　　△APQ ∽ △ABC

　　　　　対応する辺の比は等しいから

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　AP：AB ＝ AQ：AC ＝ PQ：BC

② Qを通りABに平行な直線と辺BCとの交点をRとする。

　△APQと△QRCにおいてPQ∥BCより

　　　∠AQP＝∠QCR

　QR∥ABより　∠PAQ＝∠RQC

　２組の角がそれぞれ等しいので、

　　　△APQ ∽ △QRC

　よって、AP：QR ＝ AQ：QC ・・・（i）

　また四角形PBRQは平行四辺形だから、

　　　QR＝PB　　・・・・・・・・・（ii）

　（i），（ii）よりAP：PB ＝ AQ：QC